Finding Pattern (Problem Solving)

Posted: November 19, 2013 in Uncategorized

Matematika menggunakan pola sebagai sebuah bantuan untuk memecahkan masalah dalam geometri, seperti di bidang lainnya. Permasalahan dalam penentuan pola dapat diselesaikan dengan pengenalan pola awal. Namun perlu diingatkan kepada siswa bahwa dalam menemukan pola yang diberikan beberapa urutan nomor tidak selalu mengarah kepada angka selanjutnya. Misalnya, pertimbangkan utrutan 1, 2, 4, 8, 16, …. Angka selanjutnya, berdasarkan banyak orang, mungkin akan menjawab 32 yang diperoleh dengan mengalikan dua pada masing-masing angka. Untuk sampai pada angka yang dicari atau dengan menggunakan rumus 2(n-1) untuk menghasilkan hubungan urutan yang diberikan. Bagaimanapun, kita bisa membantah secara matematis bahwa angka selanjutnya ialah 31, diikuti 57 dan 99. Urutan ini, sisipan pada segitiga pascal yang menghadirkan angka dari bagian dalam si mana sebuah lingkaran bisa jadi dipartisi oleh bilangan bertingkat dari titik yang dihubungkan pada lingkaran.

 

Kekuatan dari pengenalan pola ialah kecermatan dalam melihat, bagaimanapun, ketika strategi digunakan untuk memecahkan masalah di mana masalah yang tidak jelas solusi dan secara signifikan disederhanakan dengan mencari pola. Pengidentifikasian pola dan kemudian menggunakannya untuk menemukan jawaban dari pertanyaan meminta pembuktian yang efisien. Dalam mengenali pola, kita juga memerlukan representasi visual, mengorganisasikan data, dan memecahkan dengan versi sederhana dari masalah yang ada.

Masalah 3.1

Tentukan satuan dari 819

Mari temukan pola:

81     =              8                      85    =       32.768

82     =            64                      86     =     262.144

83      =                     512                      87     =  2.097.152

84       =       4.096                     88     =16.777.216

Kita dapat melihat bahwa ada pola satuan di atas, yakni 8, 4, 2, 6 dan berulang seperti itu juga. Sehingga jika kita susun terus menjadi 819 maka akan kita dapati satuan dari 819 ialah 2.

 

Masalah 3.2

Tentukan satuan dari penjumlahan berikut: 1325 + 481 + 5411

Mari temukan pola masing-masing angka yang berpangkat kemudian jumlahkan satuan dari masing-masing angka yang berpangkat di atas.

 

131     =                           13                 135    =        371.293

132     =             169                 136     =     4.826.809

133      =          2197                 137     =  62.748.517

134       =       28.561                 138     =725.731.721

Satuan dari pengulangan perkalian 13 ialah 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,…. Sehingga 1325 akan mempunyai satuan 3. Untuk perkalian pangkat pada angka 4, berikut perolehannya:

41     =            4                        45    =    1.024

42      =           16                      46     =     4.096

43      =                     64                        47     =   16.384

        44       =       256                       48     =   65.536

Untuk satuan perkalian pangkat pada angka lima pasti 5. Sehingga hasil penjumlahan nilai satuan dari 1325 + 481 + 5411  ialah 3 + 4+ 5 = 12, yakni 2.

 

Masalah 3.3

Kita mempunyai mesin fungsi yang beroperasi hanya apabila diberikan angka. Kemudian, jikia kita mengisi dengan angka 3, mesin hanya bisa mengoperasikan 3. Mesin menggunakan empat pokok aritmetika secara tunggal ataupun kemobinasi dari keempatnya. Berikut contohnya.

Input (x)

Output

1

1

2

9

3

29

4

67

5

129

6

221

Bagaimana jika kita mengisi angka 9?

Temukan pola:

Input (x)

Output

X3

Perbedaan dari X3

1

1

1

0

2

9

8

+1 atau (2-1)

3

29

27

+2 atau (3-1)

4

67

64

+3 atau (4-1)

5

129

125

+4 atau (5-1)

6

221

216

+5 atau (6-1)

.

.

.

.

.

.

.

.

x

 

X3

+ (x-1) atau (x- -)

Didapatlah pola: X3 + (x- -). Jika kita memasukkan angka 9 maka 93 + (9 – -) = 737.

 

Masalah 3.4

Tentukan jumlah 20 bilangan ganjil pertama!

Ada dua kemungkinan cara yang bisa dilakukan, yakni:

a)    Mendaftarkan keduapuluh bilangan ganjil pertama yakni 1, 3, 5, ….., 35, 37, 39. Jika kita perhatikan jumlah dari bilangan pertama dan terakhir itu adalah 40, kemudian jumlah bilangan ganjil kedua dank e 19 adalah 40 juga. Maka akan kita dapati pasangan angka yang berjumlah 40 sebanyak 10. Sehingga dapat kita jumlahkan menjadi 400.

b)   Cara kedua ialah dengan mencari pola.

Penjumlahan

Jumlah angka yang dijumlahkan

Jumlah

1

1

1

1 + 3

2

4

1 + 3 + 5

3

9

1 + 3 + 5 + 7

4

16

1 + 3 + 5 + 7 + 9

5

25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

6

36

 

X

X2

Dengan demikian jumlah 20 bilangan ganjil pertama ialah 202 = 400.

 

Masalah 3.5

Tentukan jumlah 100 bilangan genap pertama!

a)    Mendaftarkan keduapuluh bilangan ganjil pertama yakni 2 + 4 + 6 + 8 ….+ 194 + 196 + 198 + 200. Jika kita perhatikan jumlah dari pasangan bilangan pertama dan terakhir itu adalah 202.

2 + 200 = 202

4 + 198 = 202

6 + 196 = 202

            Maka akan ada 50 pasang bilangan yang berjumlah 202 sehingga 50 x 202 = 10.100

b)   Cara kedua ialah dengan mencari pola.

Jumlah angka yang dijumlahkan

Jumlah

1

2

= 2

= 1.2

2

2 + 4

= 6

= 2.3

3

2 + 4 + 6

= 12

= 3.4

4

2 + 4 + 6 + 8

= 20

= 4.5

.

.

 

 

.

.

 

 

x

2 + 4 + 6 + 8 +.. + x

 

x(x-1)

Dengan demikian jumlah 20 bilangan ganjil pertama ialah 100(101) = 10.100

 

Masalah 3.6

Sebuah peta di sebuah kota local tergambar di bawah ini. Billy tinggal di sudut 4th Street dan jalan Fairfield. Betty tinggal di sudut 8th Street dan Jalan Appleton. Billy hendak mengunjungi rumah Betty sekalu sehari hingga ia mencoba beberapa rut eke rumahnya. Jalan hanya bisa dilalui dengan berjalam kea rah timur dan utara. Berapa banyak rute yang berbeda yang bisa diambil Billy untuk ke rumah Betty?

 

Solusi:

Jika kita

 

 

 

 

Masalah 3.7

Berapa banyak digit angka pada hasil perhitungan (111.111.111)2 ? Angka berapa dipertengahan digit tersebut?

1 digit  12                                 =  1                                          = 1 digit; digit tengah = 1

2 digit  112                               =  121                                      = 3 digit; digit tengah = 2

3 digit  1112                             =  12321                                  = 5 digit; digit tengah = 3

4 digit  11112                           =  1234321                              = 7 digit; digit tengah = 4

.           .                                   .                                               .

.           .                                   .                                               .

9 digit 111.111.1112               =  12345678987654321          = 17 digit; digit tengah = 9

 

Masalah 3.8

Berapa banyak sudut vertical yang dibuat oleh garis yang berbeda, berbarengan melalui sebuah titik?

 

2

 

                   A                                                                                        D

 

           
 

1

 

 

3

 

   

4

 

 

 

 

 

                   C                                                                                         B

                                                                        (a)

 

 

       
 

F

 

 
     

 

 

 

 

2

 

3

 

                   A                                                                                        D

 

               
 

1

 

 

4

 

   

6

 

 
     

5

 

 

 

 

 

                   C                                                                                         B

 

E

 

                                                                       

 

(b)

 

 

 

 

 

 
   

 

 

 

 

 

4

 

3

 

2

 

                   A                                                                                        D

 

                   
 

1

 

   

5

 

 
   

6

 

   

7

 

   

8

 

 
 

 

 

 

                   C                                                                                         B

 

G

 

E

 

                                                                       

 

(c)

 

 

 

Masalah 3.9

Berapa jumlah angka di baris kedua puluh lima di susunan berikut.

 

 

Row

Sum

1

1

2

8

3

27

4

64

5

125

.

.

.

.

.

.

X

X3

 

Oleh karena itu, baris ke dua puluh lima, jumlah ke dua puluh lima adalah 253 = 15.625.

 

Masalah 3.10

Jika urutan dilanjutkan pada pola berikut, berapa banyak persegi yang ada pada term ke sepuluh dan berapa banyak persegi yang diarsir?

 

Solusi:

Jumlah “Term”

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Jumlah Total

1

5

11

19

29

41

55

71

89

109

Jumlah Terarsir

1

3

7

11

17

23

31

39

49

59

Perbedaan

2

4

4

6

6

8

8

10

10

 

 Aka nada 109 persegi di gambar ke sepuluh dan 59 persegi yang terarsir.

 

Masalah 3.11

Jika kita teruskan tulisan bilangan bulat dari 2 hingga 1000 pada tabel berikut, pada kolom ke berapakah nomor 1000?

 

Solusi:

Kita akan memecahkan masalah ini dengan mencari pola. Angka yang diletakkan di bawah huruf berdasarkan pola di atas, kita akan coba menggambarkan apa polanya. Ada 8 kolom di atas dengan 8 huruf.  Apa yang terjadi jika angka-angka tersebut kita bagi 8?

Setiap angka di kolom A bersisa 1

Setiap angka di kolom B bersisa 2

Setiap angka di kolom C bersisa 0

Setiap angka di kolom D bersisa 3

Setiap angka di kolom E bersisa 7

Setiap angka di kolom F bersisa 4

Setiap angka di kolom G bersisa 6

Setiap angka di kolom H bersisa 5

Jika kita membagi 1000 dengan 8 maka akan tersisa 0. Sehingga angka 1000 akan berada di kolom C.

 

 

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s